Innhold Vis
En intern AI-modell hos OpenAI har bevist løsninger på tre uløste Erdős-problemer innen kombinatorikk og tallteori. Bevisene ble publisert 31. mars 2026 på arXiv av forskerne Boris Alexeev, Moe Putterman, Mehtaab Sawhney, Mark Sellke og Gregory Valiant – og de er tydelige på at bevisene «er utelukkende generert av en intern modell hos OpenAI».
Det er ikke første gang AI løser uløste matematikkproblemer. Google DeepMind demonstrerte noe lignende med AlphaProof i 2024. Men det som gjør OpenAIs gjennombrudd interessant er at dette er en intern modell som ikke er offentlig tilgjengelig – og at den i løpet av svært kort tid klarte å generere korte, elegante bevis på problemer som har stått ubesvart i tiår.
Erdős-problemer er ikke ditt vanlige skole-matematikk. Vi snakker om en samling på over 1 000 åpne spørsmål formulert av den ungarske matematikeren Paul Erdős gjennom sin karriere – problemer som av og til motstår løsning i 30-50 år, og som er verd kontantpremier for den som klarer å knekke dem. Av de 1 183 dokumenterte Erdős-problemene er 498 (42%) løst til dags dato.
Hva er Erdős-problemer?
Paul Erdős (1913-1996) var en av historiens mest produktive matematikere. Han publiserte over 1 500 vitenskapelige artikler i løpet av livet og samarbeidet med over 500 kolleger – noe som ga opphav til begrepet «Erdős-tall» (antall steg fra deg til Erdős i et samarbeidsgraf). Einstein har Erdős-tall 2. Albert Camus har uendelig.
Erdős hadde en uvane for å stille spørsmål. Mange av dem virket enkle å formulere, men viste seg å kreve dype og subtile matematiske innsikter for å besvare. Han satte ofte ut kontantpremier – fra noen hundre til noen tusen dollar – for løsninger han mente var spesielt vanskelige. En del av disse problemene er fortsatt ubesvarte.
De tre problemene OpenAIs modell løste er alle innen kombinatorikk og tallteori – matematikkens svar på puslespill om tall, summer og strukturer. Ingen av dem hadde vært løst siden Erdős formulerte dem.
Hvilke tre problemer ble løst?
Ifølge artikkelen «Short proofs in combinatorics and number theory» er de tre bevisene:
1. Små primfaktorer i binomialkoeffisienter. Et problem om hvilke primtall som deler opp tallene i Pascals trekant (binomialkoeffisienter). Enkelt å forstå, vanskelig å bevise.
2. Oppsplitting av additive baser. Kan en additiv basis – en mengde tall der du kan uttrykke alle heltall som summer – alltid deles i to deler slik at hver del fremdeles «dekker» tallene uten for store hull? Erdős spurte. AI svarte.
3. Distribusjon av irrasjonale multipler. Om sekvensen {αp} – der p løper over primtall og α er et irrasjonalt tall – er «veldistribuert» i en teknisk forstand definert av matematikerne Hlawka og Petersen. Dette er knyttet til analytisk tallteori og primtallenes fordeling.
Artikkelen er på 6 sider. Det er ikke tilfeldig – korte bevis er i seg selv et mål innen matematikk. Et elegant bevis som ikke trenger 50 sider sier noe om at du faktisk forstår strukturen i problemet, ikke bare har funnet en vei rundt det.
Hva sier dette om AI og matematikk?
Det er verdt å reflektere over hva som faktisk skjer her. En AI-modell – ikke mennesker – har generert bevis som er gode nok til å publiseres på arXiv med fem akademikere som medforfatter-signaturer. Forskerne validerer bevisene, men selve det matematiske arbeidet er maskinens.
Dette er noe annet enn å løse IMO-oppgaver (International Mathematical Olympiad), som er kjent vanskelige men har kjente svar og veldefinerte strukturer. Erdős-problemer er åpne forskningsproblemer – ingen vet på forhånd hvordan løsningen ser ut, eller om den finnes i det hele tatt.
Jeg har skrevet tidligere om Google DeepMinds AlphaProof som løste IMO-oppgaver på sølvmedalje-nivå. Det var imponerende – men det var i en kontrollert setting med kjente problemer. OpenAIs modell tok seg av problemer uten fasit.
Spørsmålet alle stiller nå er selvsagt: hvilken modell er dette? OpenAI nevner det ikke i artikkelen. «En intern modell» er alt vi vet. Det kan være en spesialisert reasoning-modell, det kan være en versjon av o3 eller o4 med ekstra fintuning på formell matematikk, eller det kan være noe helt nytt. Kevin Weil (CPO i OpenAI) bekreftet på X at dette er ekte – men gikk ikke i detalj om arkitekturen.
Er dette begynnelsen på AI som matematisk forsker?
Her er det interessant å stoppe opp. Kombinatorikk og tallteori er noen av matematikkens «fineste» felt – spørsmålene er enkle å formulere, men bevisene krever kreativitet og innsikt, ikke bare regnekraft. At AI klarer dette er kvalitativt annerledes enn at AI slår mennesker i sjakk eller Go.
Sjakk og Go har enorme spilltrær, men reglene er deterministiske. Matematisk bevisføring krever at du kombinerer konsepter på nye måter, ser strukturer ingen har sett før, og formulerer argumenter som er logisk vanntette. Det er det AI gjør her.
Betyr det at matematikere snart er overflødige? Nei – i hvert fall ikke ennå. Artikkelen ble skrevet av fem erfarne matematikere som validerte bevisene, formulerte problemstillingene, og satte det hele i kontekst. AI er et verktøy i en forskers hånd – et ekstremt kraftig verktøy, men fortsatt et verktøy.
Det som er mer sannsynlig: AI kommer til å akselerere matematisk forskning dramatisk. Problemer som har ventet 40 år på løsning kan begynne å falle. Erdős stilte over 1 000 spørsmål. 558 av dem er fortsatt åpne. AI har nettopp begynt å se på dem.
Hva vet vi om OpenAIs interne modell?
Lite, ærlig talt. «Intern modell» er det eneste som er offentliggjort. Det er ikke o3, o4-mini eller GPT-5-serien slik de er tilgjengelig via API – ellers ville det trolig vært nevnt eksplisitt.
Det er rimelig å anta at dette er en modell spesialtrent for formell matematikk, muligens med tilgang til Lean eller et annet automatisk bevisverifikasjons-system. Formell verifisering er kritisk – det er det som skiller «AI som getter et bevis» fra «AI som faktisk beviser noe». Google DeepMinds AlphaProof brukte Lean for nettopp dette.
Uansett hva modellen er: resultatet er publisert, bevisene er tilgjengelige, og matematikksamfunnet kan verifisere dem uavhengig. Det er den akademiske prosessen som gir dette vekt – ikke OpenAIs ord alene.
Tre Erdős-problemer ned. 558 igjen. Det er en god start på 2026.
